J'en ai utilisé un (sans tapis) et ses problèmes de démarrage à un moment étaient seulement dus à une batterie hors d'age.
S'il démarre aux câbles avec une batterie séparée, au moins il n'y a rien à reproché au moteur ni à son démarreur.
Après, je ne sais pas où vous prenez les points de contact pour les câbles de dépannage, mais voici des pistes à regarder:
Déjà, échanger les deux batteries, voir si c'est pareil.
Regarder l'état des connexions et des câbles de la batterie. Souvent ce genre de machine dort dehors et pluie + acide sulfurique + vibrations + surchauffe éventuelle = grosse misère pour les métaux.
Si les bornes de la batterie sont encroutées de sulfate, bien gratter tout le tour des cosses et des bornes (métal brillant) et graisser avant de remonter. Ne pas hésiter à changer, même les câbles, si ça a l'air un peu pourri.
Idem pour la connexion et le fil d’excitation du démarreur (et un éventuel relais intermédiaire) avec vibrations, oxydation et chauffe.
Dernier point à envisager, le contacteur de la clé qui peut être lui aussi hs pour les mêmes raisons.